Processus de branchement de Galton-Watson
Arbre généalogique dans lequel chaque individu donne naissance à un nombre aléatoire d'enfants, indépendamment du nombre d'enfants générés par tous les autres individus. $$Z_0=1\quad\text{ et }\quad\forall k\geqslant1,\quad Z_k=\sum^{Z_{k-1} }_{m=1}\underbrace{X_{m,k} }_{\text{i.i.d} }$$
- la loi \(\{p_k\}_{k\in{\Bbb N}}\) désigne le nombre d'enfants par individus
- il existe une construction alternative, où on itère sur les individus au lieu d'itérer sur les générations : $$A_t=A_{t-1}-1+X_t$$
- on dit que \(A_t\) est le nombre d'individus actifs à l'instant \(t\)
- pour cette construction, le nombre total d'individu est donnée par \(Z:=\) \(\inf\{t\gt 0\mid A_t=0\}\)
- on a alors la majoration $$\forall n\in{\Bbb N},\quad{\Bbb P}(Z\gt n)\leqslant e^{-n\;\overbrace{\sup_{\theta\gt 0}\theta-\log({\Bbb E}[e^{\theta X_1}]}^{h(1)})}$$ (issue de l'Inégalité de Chernoff)
Exercices
Processus de branchement avec immigration
